中小学教育资源及组卷应用平台 专题10 端点问题 一．考情分析 导数在数学各类问题以及各个学科和许多领域中有着非常广泛的应用. 导数已成为研究函数性质的一种重要工具,例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等.在新课程背景下,一般情况都需要转化为函数,利用函数的性质,通过求导,利用单调性求出极值、最值,因此,很多时侯可以利用导数作为工具研究函数性质,从而解决问题.讨论函数的端点就是其中一个考点，下面具体讨论导数在端点时有关的问题时的作用. 二．经验分享 1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点． 2.根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集． (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解． (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题． 3.利用导数研究含参数函数的单调性问题,常化为不等式恒成立问题,注意分类讨论与数形结合思想的应用；函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 三、题型分析 例1.已知函数.（导数的几何意义，函数的单调性.） （I）当时，求曲线在处的切线方程； (II)若当时，，求的取值范围. 例2.已知λ∈R，函数f (x)＝ex－ex－λ(xlnx－x＋1)的导函数为g(x)． （1）求曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程； （2）若函数g (x)存在极值，求λ的取值范围； （3）若x≥1时，f (x)≥0恒成立，求λ的最大值． 例3.已知函数（为正实数，且为常数）. （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 例4.设函数. （Ⅰ）求函数的单调递增区间； （Ⅱ）设函数在上是增函数，且对于内的任意实数,当为偶数时，恒有成立，求实数的取值范围； (Ⅲ)当是偶数时，函数，求证：. 迁移应用 1.已知对任意的恒有成立. （Ⅰ）求正数与的关系； （Ⅱ）若对恒成立，求函数的解析式； （Ⅲ）证明：. 2.已知函数 （Ⅰ）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围； （Ⅱ）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （Ⅲ）设各项为正的数列满足：求证：. 3．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设函数，其中是自然对数的底数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 4.已知函数 （1）证明：有唯一的零点： （2）当时，函数有零点，记的最大值为证明. 5.已知函数，其中. （1）当时，求的单调区间； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围.（附） 6.已知函数，曲线在点处的切线方程为. 求的值和的单调区间； 若对任意的恒成立，求整数的最大值. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台 专题10 端点问题 一．考情分析 导数在数学各类问题以及各个学科和许多领域中有着非常广泛的应用. 导数已成为研究函数性质的一种重要工具,例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等.在新课程背景下,一般情况都需要转化为函数,利用函数的性质,通过求导,利用单调性求出极值、最值,因此,很多时侯可以利用导数作为工具研究函数性质,从而解决问题.讨论函数的端点就是其中一个考点，下面具体讨论导数在端点时有关的问题时的作用. 二．经验分享 1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解 ... ...
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