中小学教育资源及组卷应用平台 突破3.2 简单的三角恒等变换 一、考情分析 三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容．在考察中，以容易题和中档题为主．在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合．利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象．而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现．因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力． 二、经验分享 1 同角三角函数的基本关系式 ：，=， 2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3 和角与差角公式 ;; . = (由点的象限决定, ). 3 二倍角公式及降幂公式 . . 4 三角函数的周期公式 函数， (A,ω,为常数，且A≠0)的周期； 函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期. 三角函数的图像： 三、题型分析 (一) 利用半角以及二倍角公式求函数值 例1．（1）（2018·全国高考真题（文））若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,故选B. （2）（2019·四川高三月考（文））已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以.故选：A. 【变式训练1】．若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 又，所以所以， 所以上式. ，，所以上式. 【变式训练2】．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为,所以, ,又因为 所以,两边平方得,所以, 所以.故选:A. (二) 利用辅助角公式研究函数性质 例2．（2017·北京高一期中）函数的最小正周期为_____，最大值为_____． 【答案】 【解析】 ∵ ，∴函数的最小正周期为，最大值为，故答案为. 例3．（2019·上海高三）已知函数. （1）求的定义域； （2）求函数在区间内的零点. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）由正切函数的性质可求f（x）的定义域为：； （2）∵f（x）＝（1）?2sinxcosx＝sin2x+2sin2x＝sin2x﹣cos2x+1 sin（2x）+1， ∴F（x）＝f（x）﹣2sin（2x）﹣1＝0， 解得：2x2kπ，或2x2kπ，k∈Z， 即：x＝kπ，或x＝kπ，k∈Z， 又x∈（0，π）， ∴k＝0时，x或x， 又f（x）的定义域为： 故F（x）在（0，π）内的零点为． 【变式训练1】．（2018·广东高三学业考试）函数，则的最大值和最小正周期分别为（ ） A．2和 B．4和 C． 2和 D． 4和 【答案】A 【解析】∵函数∴函数的最大值为2，最小正周期为 故选A 【变式训练2】．（2018·佛山市南海区桂城中学高一期中）已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求的值域. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）函数， 令，解得：， 所以函数的单调增区间； （2）当时，，， ，的值域为. (三) 三角函数在实际问题中的应用 例4．（2019·重庆高三（理））被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得m＝2sin18°，4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°， ∴＝．故选：C． 例5．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为． (1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬 ... ...
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