10893331134433 二次根式 二次根式的定义：一般地，形如 的式子叫做二次根式 . 二次根式的性质 （ 1） ； （ 2） ； （ 3） ； （ 4） ； （ 5） . 无理式的定义：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式，如 是无理式，而 不是无理式 . 分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 方法：分子、分母同时乘分母的有理化因式，或通过约分的方法达到分母有理化的目的 . 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式，常用的有理化因式有： ） 与 ； ） 与 ； ） 与 . 分子有理化：把分子中的根号化去，叫做分母有理化 . 方法：分子、分母同时乘分子的有理化因式 . 二次根式的大小比较： 二次根式比较大小的方法有平方比较法、 作差比较法、求商比较法、求倒数比较法等，其中，比较常用的是平方比较法 . 二次根式的运算：二次根式的加减类似于多项式的加减，先化成最简二次根式，再对同类 二次根式进行合并；二次根式的乘法类似于多项式的乘法；二次根式的除法，通常写成分数的形式，再进行分母有理化 . 例 1：二次根式的意义 已知实数 满足 ，求 的值是多少？ 【解答】 2019 10893331134433 【解析】∵二次根式有意义， ，即 ， ， ， 解得 ， 等式两边平方，整理得 . 例 2：二次根式的性质与化简 若实数 、 满足 ，求 、 之间的数量关系？ 【解答】 【解析】 ， ， 同理可得 ， ①＋②可得 ， . 例 3：分母有理化 已知 ，求 的值. 【解答】 当 时，原式 . 例 4：比较大小 试比较 与 的大小. 1089333-345751【解答】 【解析】 化简后分母相同，分子不同，所以倒数大的反而小，所以 . 例 5：双重二次根式化简 已知 ，则 . 【解答】 【解析】将 的左边分子有理化得 ， 化简得 ， 两式相加得 ， 解得 ， . 二次根式巩固练习 一．选择题 1．若 x2+y2 ＝1，则 的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】 C 2 2 【解析】因为 x +y ＝1， 所以﹣ 1≤x≤1，﹣ 1≤y≤1， 10893331134433 因为 ， 其中 y﹣2＜0，所以 x+1≤0， 又因为﹣ 1≤ x≤1， 所以 x+1＝ 0， x＝﹣ 1， 所以 y＝0， 所以原式＝ ＝ 2+0 ＝ 2． 4 3 2 2．已知 x＝ ﹣ 2， x +8x +16x 的值为（ ） A． B． C．3 D．9 【解答】 D 【解析】∵ x＝ ﹣2， 2 2 2 2 ∴x ＝（ ﹣2） ＝（ ） ﹣2× ×2+2 ＝7﹣4 +4＝ 11﹣4 ， 2 2 则原式＝ x （x +8x+16） 2 2 ＝x （x+4） 2 ＝（ 11﹣ 4 ）（ ﹣2+4） 2 ＝（ 11﹣ 4 ）（2+ ） ＝（ 11﹣ 4 ）（11+4 ） 2 2 ＝ 11 ﹣（ 4 ） ＝ 121﹣112 ＝ 9 3．若二次根式 有意义，且关于 x 的分式方程 有正数解，则符合条件 的整数 m的和是（ ） A．﹣ 7 B．﹣ 6 C．﹣ 5 D．﹣ 4 【解答】 D 【解析】去分母得，﹣ m+2（ x﹣ 1）＝ 3， 解得 ， ∵关于 x 的分式方程 有正数解， ∴ ， ∴ m＞﹣ 5， 又∵ x＝1 是增根，当 x＝ 1 时， ，即 m＝﹣ 3 ∴ m≠﹣ 3， ∵ 有意义， ∴ 2﹣ m≥ 0， ∴ m≤ 2， 因此﹣ 5＜m≤2 且 m≠﹣ 3， ∵m为整数， ∴m可以为﹣ 4，﹣ 2，﹣ 1，0，1，2，其和为﹣ 4. 4 ． 设 x 、 y 、 z 是 两 两 不 等 的 实 数 ， 且 满 足 下 列 等 式 ： 3 3 3 ，则 x +y +z ﹣3xyz 的值是（ ） A．0 B．1 C．3 D．条件不足，无法计算 【解答】 A 【解析】依题意得： ， 解得 x＝0， ∵ ， ∴ ， ∴y＝﹣ z 3 3 3 3 3 ∴把 x＝0，y＝﹣ z 代入 x +y +z ﹣3xyz 得：原式＝（﹣ z） +z ＝0. 10893331134433 设 ，则 S最接近的整数是（ ） A．2015 B．2016 C．2017 D．2018 10893331134433 【解答】 C 【解析】 所以 S最接近的整数是 2017. 二．填空题 已知 a、b 满足 ，则 ab 的值为 ． 【解答】 【解析】∵ ＝a+3， 若 a≥2，则 a﹣2＝a+3，不成 ... ...
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