(
课件网) 1．2．1 三角函数的定义（一） 1.初中学过的锐角三角函数的定义: 在直角三角形ABC中，角C是直角，角A为锐角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜边AB之间的比值来定义角A的三角函数. 2.用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数： 以坐标原点为角α的顶点，以OX轴的正方向为角α的始边，则角α的终边落在直角坐标系的第一象限内，若点P (x,y)是角α终边上的任意一点，点P到原点O的距离是r ,试将角α的三角函数用x、y、r的式子表示出来 sinα= ，cosα= ，tanα= 。 3. 任意角的三角函数 : （1）确立任意角α在直角坐标系中的位置； 以坐标原点为角α的顶点，以OX轴的正方向为角α的始边； （2）在其终边上取点A，使OA=1，点A的坐标为(l, m)，再任取一点P(x,y)，设点P到原点的距离为r，OP =r（r≠0），根据三角形的相似知识得： 因为A、P在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得 不论点P在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。即当点P在α的终边上的位置变化时，这三个比值始终等于定值。 叫做角α的余弦，记作cosα , 即cosα= ； 叫做角α的正弦，记作sinα， 即sinα= ； 叫做角α的正切，记作tanα， 即 tanα= 依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应： 当α≠2kπ± (k∈Z)时，它有唯一的正切值与之对应. 因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数。 3.角α的其他三种函数： 角α的正割： 角α的余割： 角α的余切： 4. 几点说明： (1) 这里提到的角α是“任意角”，当β=2kπ+α(k∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值都相等。 (2) 定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置（终边在坐标轴上除外），即函数的定义与α的终边位置无关。 实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。 (3) 三角函数是以“比值”为函数值的函数。 (4) 对于正弦函数sinα= , 因为r>0，所以恒有意义，即α取任意实数， 恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域是R； 对于正切函数tanα= , 因为x=0时， 无意义，又当且仅当α的终边落在y轴上时，才有x=0，所以当α的终边落不在y轴上时， 恒有意义，即tanα= 恒有意义，所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ+ （k∈Z）} 从而三角函数的定义域是 y=sinα, α∈R y=cosα, α∈R y=tanα ,α≠kπ+ （k∈Z） 例1.已知角α的终边过点P（2，－3），求α的六个三角函数值。 解：因为x=2，y=－3，所以 sinα= cosα= tanα= cotα= secα= cscα= 解：（1）因为当α=0时，x=r，y=0 .所以 例2. 求下列各角六个三角函数值： （1）0；（2）π；（3） sin0=0，cos0=1，tan0=0， csc0不存在，sec0=1，cot0不存在. (2) π； 解：（2）因为当α=π时，x=－r，y=0 .所以 sinπ=0，cosπ=－1，tanπ=0， Cscπ不存在，secπ=－1，cotπ不存在. (3) 解：（3）因为当α= 时，x=0，y=－r .所以 sin =－1，cos =0，tan 不存在， csc =－1，sec 不存在，cot =0. 例3. 角α的终边过点P(－b，4)，且cosα= 则b的值是（ ） 解：r= cosα= 解得b=3. （A）3 （B）－3 （C）±3 （D）5 A 例4. 在直角坐标系中，终边过点(1， )的所有角的集合是 . 解：点(1， )在第一象限，且x=1，y= 所以r=2，sinα= ，cosα= 所以满足条件的角α=2kπ+ {α|α=2kπ+ ，k∈Z} 例5. 已知角α的终边上一点P(－ ，y)(其中y≠0)，且sinα= ，求cosα和tanα. 解：sinα= 解得y2=5，y= 当y= 时，cosα= ,tanα= 当 ... ...
