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课件网) 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立. (2)柯西不等式推论: 做一做1 下列不等式中,不一定成立的是( )? 解析：由柯西不等式可知选项A,B,C均正确,选项D错误. 答案：D 2.柯西不等式的向量形式 设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立. 名师点拨1.平面直角坐标系上一个向量从原点出发的由两个量决定:横坐标与纵坐标,所以“二维”就要有四个量,因此柯西不等式的向量形式可以认为是四个数组合成的一种不等关系. 2.二维形式的柯西不等式的代数形式与向量形式是一致的,只是表现方式不同. 做一做2 若a=(cos α,sin α),b=(3cos 2β,3sin 2β),则a·b的取值范围是 .? 解析：由已知得|a|=1,|b|=3,而|a·b|≤|a||b|=3,所以-3≤a·b≤3,即a·b的取值范围是[-3,3]. 答案：[-3,3] 解析：因为|a·b|≤|a||b|= =5,所以-5≤a·b≤5(当且仅当a=kb,即k=±1时,等号成立),即a·b的最大值为5. 答案：B 3.二维形式的三角不等式 (1)二维形式的三角不等式:若x1,y1,x2,y2∈R, 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. × √ × √ 探究一 探究二 探究三 思维辨析 利用二维形式的柯西不等式证明不等式? 分析：根据柯西不等式的结构,先将待证不等式右边添乘cos2θ+sin2θ,以符合柯西不等式的形式,再进行论证和推理. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用二维形式柯西不等式的代数形式的证明技巧 2.证明时往往需要将数学表达式适当变形,如“添项、拆项、分解、组合、配方、变量替换”等,这些变形要求具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,才能找到问题的突破口. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 利用二维形式的柯西不等式求最值? 分析：可考虑“1”的代换,将x+y化为(x+y) ,再利用柯西不等式求最值. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用柯西不等式求最值的注意点: (1)不等式的形式特点,利用二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2解题时,要对照柯西不等式,弄清要求的问题中哪样的数或代数式分别相当于柯西不等式中的“a,b,c,d”,否则容易出错. (2)等号成立的条件,利用二维形式的柯西不等式解题时,一定要写明等号成立的条件,否则题目的解题过程是不完善的. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2 (1)设x,y∈R,且2x+3y=13,则x2+y2的最小值为 .? (2)函数f(x)= 的最大值等于 .? 解析：(1)由柯西不等式可得(2x+3y)2≤(22+32)(x2+y2),当且仅当2y=3x时,等号成立,因为2x+3y=13,所以x2+y2≥13(当且仅当x=2,y=3时,等号成立). 探究一 探究二 探究三 思维辨析 柯西不等式的向量形式的应用? 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用柯西不等式的向量形式解决问题的技巧与方法:应用二维形式的柯西不等式的代数形式解决问题时常需要构造两列数,同样,向量形式的柯西不等式需要构造两个向量,通常我们使构造的向量先满足待证不等式一侧的形式,再证另一侧.同时要注意向量模的计算公式|a|= 对代数式的影响. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3 设a=(-2,2),|b|=6,则a·b的最小值是 ,此时b= .? 探究一 探究二 探究三 思维辨析 柯西不等式使用不当致错 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得柯西不等式在求二元代数式的最值中具有重要的应用,解题中,一是要熟记柯西不等式的基本形 ... ...
