常见递推数列通项的求法

常见递推数列通项的求法 类型1、 型 解题思路：利用累差迭加法，将，=，…，=,各式相加，正负抵消，即得. 例1、在数列{}中，,，求通项公式. 解：原递推式可化为： 则 ，……， 逐项相加得：.故. 例2．在数列中，且，求通项. 解：依题意得，，，把以上各式相加，得 【评注】由递推关系得，若是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若非常数，而是关于的一个解析式，可以肯定数列不是等差数列，将递推式中的分别用代入得个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。 例3、已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由 得 则 所以 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 练习： 已知满足，求的通项公式。 已知的首项，（）求通项公式。 已知中，，，求。 类型2． 型 解题思路：利用累乘法, 将各式相乘得，，即得. 例4．在数列中，，，求通项. 解：由条件等式得，，得. 【评注】此题亦可构造特殊的数列，由得，，则数列是以为首项，以1为公比的等比数列，得. 例5、设数列{}是首项为1的正项数列，且则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）. 解：原递推式可化为： =0 ∵ ＞0， 则 ……， 逐项相乘得：，即=. 练习：1、已知：，（）求数列的通项。 2、已知中，且求数列通项公式。 类型3、 型 解题思路：利用待定系数法，将化为的形式，从而构造新数列是以为首项，以为公比的等比数列. 例6．数列满足，求. 解：设，即对照原递推式，便有 故由得，即，得新数列是以为首项，以2为公比的等比数列。 （n=1,2,3…），，即通项 【评注】本题求解的关键是把递推式中的常数“”作适当的分离，配凑成等比数列的结构，从而构造出一个新的等比数列。 练习：1、已知满足，求通项公式。 2、已知中，，（）求。 分析：构造辅助数列， ，则 [同类变式] 1、已知数列满足，且，求通项 分析：（待定系数），构造数列使其为等比数列， 即，解得 求得 2、已知：，时，，求的通项公式。 解：设 ∴ 解得： ∴ ∴ 是以3为首项，为公比的等比数列 ∴ ∴ 3、已知数列满足，求数列的通项公式。 解：两边除以，得， 则， 故 因此， 则 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+…+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。 类型4．型 例7 已知数列的前项和满足 写出数列的前3项； 求数列的通项公式. 解：（1）由，得. 由,得, 由,得 (2)当时,有,即 ① 令,则,与①比较得, 是以为首项,以2为公比的等比数列. ,故 引申题目： 1、已知中，，（）求 2、在数列{}中，求通项公式。 解：原递推式可化为： ① 比较系数得=-4，①式即是：. 则数列是一个等比数列，其首项，公比是2. ∴即. 3、已知数列满足，，求数列的通项公式。 解：两边除以，得，则， 故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式 4、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式 5、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式 6、已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 ④ 将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式， 得 ⑤ 由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 类型5、取倒数 例8、已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。 解： 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即. 例9、数列中 ... ...