课时分层作业(二十六) (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( ) A． B． C． D． B [设点P的坐标为(a2，a)，依题意可知抛物线的准线方程为x＝－，则a2＋＝，解得a＝±，故点P的坐标为.] 2．抛物线y2＝2px过点A(2,4)，F是其焦点，又定点B(8，－8)，那么|AF|∶|BF|＝( ) A．1∶4 B．1∶2 C．2∶5 D．3∶8 C [将点A(2,4)的坐标代入y2＝2px，得p＝4， ∴抛物线方程为y2＝8x, 焦点F(2,0)，已知，B(8，－8) ， ∴＝＝＝.] 3．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 B [点(2,4)在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.] 4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( ) A．2 B．2 C．2 D．2 B [设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)， 即y＝－2x＋2. 由得x2－4x＋1＝0， ∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1. ∴|AB|＝ ＝＝＝2.] 5．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|,4，|BF|成等差数列，则k＝( ) A．2或－1 B．－1 C．2 D．1± C [设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0， 故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)＞0，解得k＞－1，且x1＋x2＝. 由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|，4，|BF|成等差数列，得x1＋2＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝4， 所以＝4，解得k＝－1或k＝2，又k＞－1，故k＝2.] 二、填空题 6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝_____. 6 [因为抛物线x2＝2py的准线y＝－和双曲线－＝1相交交点横坐标为x＝±，∴由等边三角形得2×＝p，解得p＝6.] 7．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是_____． (3,2) [将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3， ∴＝＝＝2. ∴所求点的坐标为(3,2)．] 8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为_____． [设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0. 由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0， 则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1， 即直线方程为x－y＋1＝0， 直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝. 即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为.] 三、解答题 9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程． [解] (1)由抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)， 可得16＝4p，解得p＝4. 所以抛物线C的方程为y2＝8x， 其准线方程为x＝－2. (2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意． ②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意． ③当直线l的斜率存在且不为0时， 设直线l的方程为y＝kx＋2. 由得ky2－8y＋16＝0. 由Δ＝64－64k＝0，得k＝1， 故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0. 综上直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0. 10．已知抛物线C：y2＝4x，过点(－1,0)的直线与抛物线C相切，设第一象限的切点为P. (1)求点P的坐标； (2)若过点(2,0)的直线l与抛物线C相交于两点A，B，圆M是以线段AB为直径的圆过点P，求直线l的方程． [解] (1)由题意知可设过点(－1,0)的直线方程为x＝ty－1. 联立得：y2－4ty＋4＝0， 又因为直线与抛物线相切，则Δ＝0，即t＝±1. 当t＝1时，直线方程为y＝x＋1，则联立得点P坐标为(1,2)． (2)设直线l的方程为：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得：y2－4my－8＝0，则Δ＞0恒 ... ...
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