2．2.2 直线的两点式方程 学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求线段的中点坐标． 知识点 直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 思考1 过点(x0，y0)且斜率为0的直线有两点式方程吗？ 答案 没有．其方程为y＝y0. 思考2 方程－＝1是直线的截距式方程吗？ 答案 不是．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1. 1．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．( × ) 2．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．( √ ) 3．直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.( √ ) 4．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ ) 一、直线的两点式方程 例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 解 (1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0. (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M， 又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 延伸探究 若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程． 解 kBC＝＝－， 则BC边的垂直平分线的斜率为， 又BC的中点坐标为， 由点斜式方程可得y＋3＝， 即10x－4y－37＝0. 反思感悟 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式． (2) 若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 跟踪训练1 (1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为_____． 答案 4x＋5y＋3＝0 解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)， 所以＝，所以＝， 化简得4x＋5y＋3＝0. (2)已知直线经过点A(1,0)，B(m，1)，求这条直线的方程． 解 由直线经过点A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． (1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； (2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝， 即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 二、直线的截距式方程 例2 求过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a， 又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3， ∴l的方程为x－y－3＝0. 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0. 延伸探究 (变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？ 解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0，符合题意． (2)当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1， 又l过点(5,2)，∴＋＝1，解得a＝. ∴l的方程为x＋2y－9＝0. 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x＋2y－9＝0. 反思感悟 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方 ... ...
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