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课件网) 第二节 等 差 数 列 内容索引 必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评 【教材·知识梳理】 1.等差数列与等差中项 (1)等差数列的定义式:_____=d(常数)(n∈N ). (2)等差中项 ①定义:a,A,b成等差数列,A叫a,b的等差中项. ②公式:a,A,b成等差数列?_____. ③性质:{an}是等差数列?2an+1=_____或2an=_____. an+1-an an+an+2 an+m+an-m (3)通项公式及其推广式 ①通项公式:an= _____. ②推广式:an=am+ _____ 推广式的变形d=_____ ③an=pn+q(p,q是常数)(即an是n的一次函数) (4)前n项和公式 Sn=_____或Sn=_____. a1+(n-1)d (n-m)d 2.等差数列与函数的关系 (1)等差数列{an}的通项公式可写成an=_____,当d≠0时,它是关于n的_____ _____,它的图像是直线y=dx+(a1-d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列_____ 的点. 注:当d>0时,{an}是_____数列; 当d<0时,{an}是_____数列; 当d=0时,{an}是_____. dn+(a1-d) 一次 函数 孤立 递增 递减 常数列 (2)前n项和公式可变形为Sn=_____,当d≠0时,它是关于n的常数项为0 的_____,它的图像是抛物线y= x2+ x上横坐标为正整数的均匀分 布的一系列_____. 注:若a1>0,d<0,则Sn存在最___值;若a1<0,d>0,则Sn存在最___值. 二次函数 孤立的点 小 大 3.等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N ),则_____. (2)若{an}是等差数列,则{a2n}也是等差数列,公差为___. (3)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (4)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N )是公差为___的等差 数列. (5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. ak+al=am+an 2d md (6)S2n-1=(2n-1)an. (7)若n为偶数,则S偶-S奇= ; 若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项). (8)两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为 【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差 数列. ( ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N ,都有2an+1=an+ ( ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. ( ) (4)若{an}是等差数列,公差为d,则数列{a3n}也是等差数列. ( ) (5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. ( ) 提示:(1)×.若这些常数都相等,则这个数列是等差数 列;若这些常数不全相等,这个数列就不是等差数列. (2)√.如果数列{an}为等差数列,根据定义an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若对任意n∈N ,都有2an+1=an+an+2,则an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=…=a2-a1,根据定义知数列{an}为等差数列. (3)√ .当d>0时为递增数列;d=0时为常数列;d<0时为递减数列. (4)√.因为{an}是等差数列,公差为d,所以a3(n+1)-a3n=3d(与n值无关的常数),所 以数列{a3n}也是等差数列. (5)×.等差数列的前n项和公式Sn=na1+ 显然只有公差 d≠0时才是关于n的常数项为0的二次函数,否则不是(甚至当a1=d=0时也不是n的 一次函数). 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 不能正确进行公式转化 考点一、T3,5 2 不能正确得出判断 考点二、T2 3 性质运用不熟练 考点三、角度1,2 【教材·基础自测】 1.(必修5P12例3(1)改编)已知等差数列-8,-3,2,7,…,则该数列的第100项为 .? 【解析】依题意得,该数列的首项为-8,公差为5,所以a100=-8+99×5=487. 答案:487 2.(必修5P31B组T1改编)有一个阶梯教室,共有座位20排,后一排比前一排多2个 座位,最后一排有60个座位,则阶梯教室总共的座位数为 .? 【解析】 设第n排的座位数为an(n∈N+),数列{an}为等差数列,其公差d=2,则 an=a1+(n-1)d=a1+2(n-1).由已知a20=60,得60=a1+2×(20-1),解得a1=22,则阶梯 教 ... ...
