第十四讲 不等式的应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．(北京) 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ D ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或 2．(福建) 已知为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（C） A．（－1，1） B．（0，1） C．（－1，0）（0，1） D．（－，－1）（1，＋） 3．（陕西）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 （B） （Ａ）8 （Ｂ）6 （C）4 （D）2 4．（重庆）若动点（）在曲线上变化，则的最大值为（ A ） A． B． C． D．2 5．(重庆）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 （ C ） A． B． C． D． 6、(浙江卷)已知则不等式≤5的解集是 . ★★★高考要考什么 不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题. ★★ 突 破 重 难 点 【范例1】已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数。 （1）求的值； （2）当满足时，求函数的最小值。 解：（1）由已知得 于是 （2）由 即 由于，其中等号当且仅当x+2=1，即x=－1时成立， ∴时的最小值是－3. 【范例2】已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1. (1)证明：|c|≤1； (2)证明：当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2； (3)设a＞0，有－1≤x≤1时， g(x)的最大值为2，求f(x). 命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属较难题目. 知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂. 错解分析：本题综合性较强，其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“－1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局. 技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用g(x)的单调性；证法二利用绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|；而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系. (1)证明：由条件当=1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1. (2)证法一：依题设|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.当a＞0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函数，于是 g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1). ∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1， ∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2， g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2， 因此得|g(x)|≤2 (－1≤x≤1)； 当a＜0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是减函数，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)， ∵|f(x)|≤1 (－1≤x≤1)，|c|≤1 ∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2. 综合以上结果，当－1≤x≤1时，都有|g(x)|≤2. 证法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1) ∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1， ∵f(x)=ax2+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1， 因此，根据绝对值不等式性质得： |a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2， |a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2， ∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2， 函数g(x)=ax+b的图象是一条直线，因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点x=－1或x=1处取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1. 当－1≤x≤1时，有0≤≤1，－1≤≤0， ∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，∴|f |≤1，|f()|≤1； 因此当－1≤x≤1时，|g(x)|≤|f ... ...
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