1.3简单的逻辑联结词 在数学中常常要使用逻辑联结词“或”、“且”、“非”，它们与日常生活中这些词语所表达的含义和用法是不尽相同的，下面我们就分别介绍数学中使用联结词“或”、“且”、“非”联结命题时的含义与用法。 为了叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。 “或”、“且”、“非”称为逻辑联结词。 一、由“且”构成的复合命题 思考：下列三个命题间有什么关系？ (1)12能被3整除； (2)12能被4整除； (3)12能被3整除且能被4整除. 可以看到命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“且”联结得到的新命题. 定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q” 思考：命题 p∧q的真假如何确定? 一般地，我们规定: 当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题。 全真为真,有假即假. p q 简记为：一假必假 例1、将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真假: (1)p:平行四边形的对角线互相平分，q:平行四边形的对角线相等. p∧q：平行四边形的对角线互相平分且相等.由于p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题 (2)p:菱形的对角线互相垂直，q:菱形的对角线互相平分. p∧q：菱形的对角线互相垂直且平分.由于p是真命题，q是真命题，所以p∧q是真命题 (3)p:35是15的倍数，q:35是7的倍数 p∧q：35是15的倍数且是7的倍数.由于p是假命题，q是真命题，所以p∧q是假命题 例2、用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断它们的真假: (1)1既是奇数,又是素数; (2)2和3都是素数. 解：(1)命题“1既是奇数,又是素数”可以改写为“1是奇数且1是素数”. 因为“1是素数”是假命题,所以这个命题是假命题. (2)命题“2和3都是素数”可以改写为“2是素数且3是素数”. 因为“2是素数”与“3是素数”都是真命题,所以这个命题是真命题. 练习 1、判断下列命题的真假： (1)12是48且是36的约数； (2)矩形的对角线互相垂直且平分。 真 假 2、用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断真假。 (1)y=cosx是周期函数,又是偶函数； (2)24是8的倍数,又是9的倍数. 真 假 二、由“或”构成的复合命题 思考：下列三个命题间有什么关系？ (1)27是7的倍数； (2)27是9的倍数； (3)27是7的倍数或是9的倍数. 可以看到命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“或”联结得到的新命题。 定义:一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q” 思考：命题 p∨q的真假如何确定？ 一般地，我们规定: 当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。 p q 有真即真, 全假为假. 简记为：一真必真 例3、判断下列命题的真假 (1)2≤2; “p:2<2”是假命题；“q:2=2”是真命题，所以p∨q是真命题 (2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集; “p:集合A是A∩B的子集”是真命题；“q:集合A是A∪B的子集”是真命题，所以p∨q是真命题 (3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等. “p:周长相等的两个三角形全等”是假命题；“q:面积相等的两个三角形全等”是假命题，所以p∨q是假命题 3、判断下列命题的真假 (1)47是7的倍数或49是7的倍数； (2)等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直。 练习 真 假 4、用逻辑联结词“或”改写下列命题，并判断真假。 (1)能被5整除的数的末位数字不是0就是5； (2)9是质数，9是12的约数. 真 假 思考: 如果p∧q为真命题,那么p∨q一定是真命题?反之,如果p∨q为真命题,那么p∧q一定是真命题? 若p∧q为真命题，那么p和q都是真命题，所以p∨q为真命题 反之,如果p∨q为真命题，那么p和q一真一假或者全部为真，所以p∧q不一定是真命题 提高题：设p:方程x2+mx+1=0有两 ... ...
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