2.1曲线与方程 2.1.1 曲线与方程 涪陵第二中学 本节要求 ① 理解曲线上的点与方程解之间的一一对应关系。 ②初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。 ③强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。 复习提问 请大家回忆一下，在平面直角坐标系中，直线，圆，抛物线等曲线，我们用什么式子来表示？ O x y l x O y (x-a)2+(y-b)2=r2 r C(a, b) Ax+By+C=0 O x y y=ax2(a>0) 这些曲线和方程到底是怎样一个关系呢，这就是我们本节来探讨的内容？ 方程 x y 0 （1）探求平分一、三象限直线l与方程x-y=0之间的关系？ 直线 l上点的横、纵坐标相等 y=x(或x-y=0) 平分一、三象限的直线 l 关系： x-y=0 (1)直线 l上点的坐标都是方程x-y=0的解; (2)以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线 l上. 曲线 条件 方程 l ● （x,y） 曲线和方程之间有什么对应关系： 探究新知 （2）探求圆心为(a,b)，半径为r的圆与方程(x-a)2 +(y-b)2 =r2之间的关系？ 点(x,y)与圆心C(a,b)距离为r (x-a)2 +(y-b)2 =r2 圆心为(a,b)，半径为r的圆C 关系： (1)圆C上点的坐标都是方程(x-a)2 +(y-b)2 =r2的解; (2)以方程(x-a)2 +(y-b)2 =r2的解为坐标的点都在圆C上. 曲线 条件 方程 x O y (x-a)2+(y-b)2=r2 r C(a, b) ● (x,y) 曲线和方程之间到底是什么样的对应关系呢？ 曲线方程的定义 f(x,y)=0 o x y 在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： ①曲线上点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。 则称，这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程，这条曲线C叫做这个方程的曲线. （纯粹性） （完备性） C ● (x,y) (1)点集合与解集的对应关系： 无点不是解，无解不是点 点不比解多，解不比点多 (2)点（x0,y0）在曲线C: f(x，y）=0上的充要条件为： 如何理解？ 一一对应 (3)曲线的方程：图形所满足的数量关系 方程的曲线：数量关系所表示的图形 f(x,y)=0 o x y C ● P(x0,y0) ①曲线上点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。 (几何特性) (代数特性） 例1.（1）说说过A(2，0)平行于y轴的直线m与方程|x|=2的对应关系，并判断直线m的方程是不是|x|=2 1）直线m上的点的坐标都满足方程|x|=2； 2）坐标满足方程|x|=2的点不都在直线m上 结论： O x y (2,0) A 直线m的方程不是|x|=2 例析 m 解： ● (2,y) ● (-2,y) O y x A B 结论： ● (？,？) 解： (3) 说说以原点为圆心，半径等于5的圆C与方程是x2 +y2 = 25,的对应关系，并判断圆C的方程是不是x2 +y2 = 25？ 1）圆C上点的坐标都满足 即方程x2 +y2 = 25； 2）点坐标满足方程x2 +y2 = 25时， 即这些点都在圆C上. O x y 5 5 结论： 圆C的方程是x2 +y2 = 25. 解： ● (x,y) (1)举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系符合①而不符合②. 练习 (2)举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系符合② 而不符合① . (3) 举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系既符合①又符合②。 ①曲线上点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）； ②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）。 y x 8 2 -1 O （1）符合条件①不符合条件② ① 曲线上点的坐标都是这个方程的解； ② 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。 (-1≤x≤2) （2）符合条件②不符合条件 ① ① 曲线上点的坐标都是这个方程的解； ② 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。 y x 8 2 -1 O （3）符合条件①、 ② ① 曲线上点的坐标都是这个方程的解； ② 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。 x 8 2 -1 y O 例2.求证：与两坐标轴距离之积等于常数 k(k>0)的点的轨迹的方程是xy=±k 例析 0 y x M点与x轴和y轴的距离分别为 1)设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点，则 |x0|和|y0|。 ∴ ... ...
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