3 二倍角的三角函数 考 纲 定 位 重 难 突 破 1.以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，了解它们的内在联系．2.能运用二倍角公式推导出半角公式，理解倍角公式和半角公式的内在联系、结构特点．3.熟练掌握二倍角的余弦公式及其变形．4.能用三角函数的相关公式解决三角函数的综合问题. 重点：1.二倍角的正弦、余弦、正切公式及其应用．2.半角公式的应用．难点：二倍角、半角公式的灵活应用. 授课提示：对应学生用书第64页 [自主梳理] 1．二倍角公式 2．半角公式 [双基自测] 1．sin 75°cos 75°的值等于( ) A. B. C. D．1 解析：sin 75°cos 75°＝sin 150°＝. 答案：A 2．若x＝，则cos2x－sin2x的值等于( ) A. B. C. D. 解析：cos2x－sin2x＝cos 2x＝cos＝. 答案：D 3．已知tan α＝－，则tan 2α等于( ) A. B．－ C. D．－ 解析：tan 2α＝＝＝－. 答案：D 授课提示：对应学生用书第64页 探究一 利用倍角、半角公式求值 [典例1] (1)已知x∈(，)，sin(－x)＝－，求cos 2x的值； (2)已知sin(90°＋θ)＝－，且180°＜θ＜270°，求tan. [解析] (1)解法一 ∵sin(－x)＝－，x∈(，)， ∴－x∈(－，0)，cos(－x)＝， ∴cos 2x＝sin(－2x)＝sin[2(－x)] ＝2sin(－x)cos(－x) ＝2×(－)×＝－. 解法二 由已知条件得cos x－sin x＝－. 将此式两边平方得2sin xcos x＝， ∵sin 2x＝. ∴x∈(，)，∴2x∈(，π)． ∴cos 2x＝－＝－＝－. (2)解法一 由sin(90°＋θ)＝－， 得cos θ＝－， ∵180°＜θ＜270°， ∴90°＜＜135°， ∴tan ＜0， ∴tan＝－＝－ ＝－2. 解法二 由sin(90°＋θ)＝－，得cos θ＝－， ∵180°＜θ＜270°， ∴sin θ＜0， ∴sin θ＝－ ＝－ ＝－， ∴tan ＝＝＝－2. 己知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 1．已知锐角α，β，且tan α＝2，cos β＝，求： (1)sin 2α； (2)tan(2α－β)． 解析：(1)∵tan α＝2，∴sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝. (2)∵tan α＝2，∴tan 2α＝＝＝－. ∵cos β＝，且β为锐角， ∴sin β＝＝＝， ∴tan β＝＝＝， ∴tan(2α－β)＝ ＝＝. 探究二 利用倍角、半角公式化简与证明 [典例2] 化简：[－tan ](1＋tan α·tan )． [解析] [－tan ](1＋tan α·tan ) ＝(－)(1＋·) ＝(1＋)＝·＝. 化简三角函数的多种方法： (1)考虑角不同而想到异角化同角法；(2)考虑角之间的相互关系而想到角变换法；(3)分式形式将分子、分母分别进行变形整理，提取公因式的约分法；(4)根式利用倍角公式去根号时要注意三角函数值的符号；(5)形如1＋cos α化为2cos2 ，1－cos α化为2sin2 ；(6)遇到asin x＋bcos x，引入辅助角化为Asin(x＋φ)的变换方法．这些是化简三角函数式的非常重要和常用的方法．对于解决三角函数的其他问题，如求值、证明等，都会用到这些常见方法． 2．求证：＝sin 2α. 证明：左边＝ ＝＝ ＝＝sincoscos α ＝sin αcos α＝sin 2α＝右边． ∴原式成立． 探究三 三角恒等变换的应用 [典例3] 已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值及相应的x值． [解析] f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1 ＝sin 2x＋cos 2x ＝2sin (2x＋)． (1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)． (2)由x∈[0，]可得≤2x＋≤. 所以，当2x＋＝，即x＝时， f(x)取最大值，最大值为2. 首先利用倍角公式及两角和 ... ...
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