人教A版 选修2-2 第三章 数系的扩充和复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 3.1 数系的扩充和复数的引入 一 提出问题 “数”是万物之源，支配整个自然界和人类社会．世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉． 古希腊数学家、哲学家 毕达哥拉斯（约公元前560—480年） 计数的需要 自然数 被“数”出来的自然数 远古时期的人类，用划痕、 石子、结绳记数，创造了自然数1.2.3.4. 5…… 自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地. 相反量的需要 负数 被“欠”出来的负数 东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法． 负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾. 吐鲁番盆地大约比海平面低155米. +8844 -155 珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米. 等额公平分配的需要 分数 被“分”出来的分数 分数的引入,解决了在整数中不能整除的矛盾. 大约在春秋战国时期 度量计算的需要 无理数 1 1 边长为1的正方形的对角线长是多少? 被“推”出来的无理数 约2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数, 引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数。 无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾. ？ 自然数N 整数Z 有理数Q 实数R 负整数 分数 无理数 数系的扩充过程 问题：求下列方程的解 核心问题： 引进一个新数，使 类方程有解，并将数系 进一步扩充。 核心问题： 引进一个新数，使 类方程有解，并将数系 进一步扩充。 希望：引进一个新数使方程有解 设想：实数与新数能像实数那样进行加法、乘法运算，原有的实数加法、乘法运算律仍成立 二 解决问题 一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数扩充到实数那样，通过引进新数使问题变得可以解决呢？ 1 、引进一个新数 1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数” (R.Descartes,1596--1661) 笛卡尔 1777年，欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数 欧 拉 (Leonhard Euler, 1707--1783） 1801年，高斯系统使用了i这个符号,使之通行于世 高 斯(Johann Carl Friedrich Gauss,1777--1855） 2 、设想 新数集 (1)形如 的数叫做复数,通常用字母 z 表示. (2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C 表示. 实部 虚部 3 、复数与数系的扩充 i 叫虚数单位 虚数 有理数Q 整数Z 自然数N 实数R 负整数 分数 无理数 复数C 3 、复数与数系的扩充 三 反思提升 (1)形如 的数叫做复数,通常用字母 z 表示. (2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C表示. 实部 虚部 1 、复数的概念 i 叫虚数单位 2 、复数的分类 实数 纯虚数 虚数 实数R 纯虚数 虚数 复数集C 虚数 有理数Q 整数Z 自然数N 实数R 负整数 分数 无理数 复数C 数系的每一次扩充都与实际需求密切相关,都能解决一些新的问题、建立新的体系，发挥新的作用。 3 、数系的进一步扩充 虚数 有理数Q 整数Z 自然数N 实数R 负整数 分数 无理数 复数C 数系的不断扩充体现人类在数的认识上的深化，就像人类进入太空实现了对宇宙认识的飞跃一样，复数的引入是对数认识的一次飞跃。 3 、数系的进一步扩充 虚数 有理数Q 整数Z 自然数N 实数R 负整数 分数 无理数 复数C 复数是16世纪人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的求根公式时引入的。一直以来它在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用。 3 、数系的进一步扩充 在高科技迅猛发展的今天和未来，将发挥更大的作用。 4 、复数相等 规定： 复数只有相等与不相等，没有大小关系； 如果两复数比较大小，那么这两复数一定为实数。 思考: 复数可以比大小吗？ 四 运用反馈 1 典型例题 例1. 将下列复数分类，分出实数、纯虚数和虚数，并指出虚数的实部与虚部。 实数R 纯虚数 虚数 复数集C 例1. 将下列复数分类，分出实 ... ...
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