第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解 1．会用二分法求方程的近似解．(重点) 2．明确精确度ε与近似值的区别．(易混点) 3．应用二分法解题时，会判断函数零点所在的区间．(难点) 1．二分法的定义 对于在区间[a，b]上_____且_____的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_____，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 连续不断 f(a)·f(b)＜0 一分为二 零点 以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( ) 解析：根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点． 答案：C 2．二分法的步骤 给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间[a，b]，验证_____，给定精确度ε. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)： ①若f(c)＝0，则_____； ②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈_____)； ③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈_____)． (4)判断a，b是否达到精确度ε：即若_____，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)． f(a)·f(b)＜0 c就是函数的零点 (a，c) (c，b) |a－b|＜ε 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”． 1．所有函数的零点都可以用二分法来求．( ) 2．函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．( ) 3．二分法只可用来求方程的近似解．( ) 答案：1.× 2.× 3.× 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( ) 二分法的概念 解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B. 答案：B 二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是，其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( ) A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3 解析：由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)＜0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点． 答案：D 求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确度0.1)． 思路点拨：先确定f(－2)与f(－3)的符号，再按照二分法求函数零点近似值的步骤求解． 解：由于f(－2)＝－1<0， f(－3)＝4>0， 故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间， 用二分法求函数的近似零点 用二分法逐次计算，列表如下： 由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1， 所以函数的一个近似负零点可取－2.25. 区间 中点的值 中点函数近似值 (－3，－2) －2.5 1.25 (－2.5，－2) －2.25 0.062 5 (－2.25，－2) －2.125 －0.484 4 (－2.25，－2.125) －2.187 5 －0.214 8 (－2.25，－2.187 5) －2.218 75 －0.077 1 【互动探究】 只将本例中的“负”改为“正”呢？ 解：由于f(2)＝－1<0，f(3)＝4>0，故取区间[2,3]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点 中点函数值 [2,3] 2.5 1.25 [2,2.5] 2.25 0.062 5 [2,2.25] 2.125 －0.484 4 [2.125,2.25] 2.187 5 －0.214 8 [2.187 5,2.25] 2.218 75 －0.077 1 根据上表计算知，区间[2.187 5,2.25]的长度是0.062 5< 0.1，所以这个区间的两个端点值就可作为其近 ... ...
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