2012年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷

2012年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷 （本试卷共23道试题，满分150分，考试时间１２０分钟） 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个空格填对得４分，否则一律得零分． 1.已知集合若则＿＿＿＿＿＿. 2.函数的定义域为＿＿＿＿＿＿＿. 3.抛物线的焦点坐标为＿＿＿＿＿＿＿. 4.若复数满足为虚数单位，则＿＿＿＿＿＿＿. 5.函数的最小正周期为＿＿＿＿＿＿＿. 6.方程的解为＿＿＿＿＿＿＿. 7.若则＿＿＿. 8.若为奇函数，则实数＿＿＿＿＿＿. 9.函数的最大值是＿＿＿＿＿＿. 10.若复数满足为虚数单位，则在复平面内所对应的图形的面积为＿＿＿＿. 11.某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为＿＿＿＿＿＿(结果用数值表示). 12.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 13.已知等差数列的首项及公差均为正数，令当是数列的最大项时，＿＿＿＿. 14.若矩阵满足：且，则这样的互不相等的矩阵共有＿＿＿＿＿＿个. 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5分，否则一律得零分. 15.已知椭圆则　　　　　　　　　　　 [答］（　　） 　　 (A)与顶点相同.　　　　　　　（B）与长轴长相同. 　　 (C)与短轴长相同.　　　　　　（D）与焦距相等. 16.记函数的反函数为如果函数的图像过点，那么函数的图像过点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [答］（　　） 　　 (A). (B). (C). (D). 17.已知空间三条直线若与异面，且与异面，则　　　　　 [答］（　　） (A)与异面.　　　　　　　　　 （B）与相交. 　　 (C)与平行.　　　　　　　　　　(D)与异面、相交、平行均有可能. 18.设为所在平面上一点.若实数满足 ，则“”是“点在的边所在直线上”的[答］（　　） (A)充分不必要条件.　　　　　 (B)必要不充分条件.　　 (C)充分必要条件.　　　　　　　 (D)既不充分又不必要条件. 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本题满分12分) 本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，正四棱柱的底面边长为，高为， 为线段的中点.求： （1）三棱锥的体积； （2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值 表示） 20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 　　　某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为千米（忽略内、外环线长度 差异）. （1）当列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为分钟，求内环线列 车的最小平均速度； （2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为千米/小时，外环线列车平均速度为千米/小时.现内、外环线共有列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 分钟，问：内、外环线应名投入几列列车运行？ 21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知双曲线 （1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程； （2）直线分别交双曲线的两条渐近线于两点.当时，求 实数的值. 22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知数列满足 （1）设是公差为的等差数列.当时，求的值； （2）设求正整数使得一切均有 （3）设当时，求数列的通项公式. 23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 定义向量的“相伴函数”为函数 的“相伴向量”为（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的 ... ...