2.3 数学归纳法(1) 【1】 都是质数 猜想:_____. 猜想是错误的. 猜想正确吗? 已知数列{an}的第一项 a1=1, 且 (n=1, 2,…), 试归纳出这个数列的通项公式. 解: 由此猜想: 【2】 但如何证明推理得到的结论呢？ 归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 （结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难） （结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想） （1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法 （2）不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法，比如合情推理 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法 数学归纳法 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性： （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立， （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做 数学归纳法 数学归纳法的应用： （1）恒等式 （2）不等式 （3）三角方面 （4）整除性 （5）几何方面 （6）计算、猜想、证明 例1、观察下列各等式，你发现了什么规律？ 归纳 思考：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？ 证明：①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立 ②假设当n=k时等式成立，即 那么,当n=k+1时，有 这就是说，当n=k+1时,等式也成立。 根据①和②，可知对任何n?N*等式都成立。 例2.已知数列 计 算 ,根据计算的结果,猜想 的表达式,并用数学归纳法进行证明. 下面我们用数学归纳法证明这个猜想。 猜想成立。 （2）假设当n=k 时猜想成立，即 那么， 根据(1)和（2）,可知猜想对任何 都成立。 C 1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时 当n＝1时，左边所得项是 ； 当n＝2时，左边所得项是_____. 1+2+3 1+2+3+4+5 作业布置： P96 A组 第1，2题 2.3 数学归纳法(2) 1、什么是数学归纳法？ 复习回顾： 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 2、数学归纳法适用于证明与自然数有关的命题． (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时，命题成立； (2)假设n＝k(k∈N*且k≥n0)时命题成立， 证明n＝k＋1时命题也成立(应用假设证明)； (3)结论：由(1)(2)，对于命题从n0开始的 所有自然数n都成立． 证:(1)当n=2时, 左边= 不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有: 则当n=k+1时,我们有: 即当n=k+1时,不等式也成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 都成立. 例3、用数学归纳法证明: 打开《全优课堂》 做 练习： P96 B组 第1，2题 (2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论； (3)数学归纳法优点：即克服了完全归纳法的繁杂的缺 点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。 (4)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来 解决“无限”的问题 (1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题 的重要方法 回顾反思 ... ...
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