3.2函数模型及其应用 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述的，我们学过的函数模型有哪些呢？ 一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 幂函数 等等 对于实际问题，我们如何选择一个恰当的函数模型来刻画它呢？找出模型后又是如何去研究它的性质呢？ 例1 、 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一、每天回报40元； 方案二、第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？ 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。 解：设第x天所得回报为y元，则 方案一：每天回报40元； y=40 (x∈N*) 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x∈N*) 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 y=0.4×2x-1 (x∈N*) 投资方案选择原则： 投入资金相同，回报量多者为优 (1)比较三种方案每天回报量 (2)比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。 (3)三个函数模型的增减性如何？ (4)要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？ x/天 方案一 方案二 方案三 y/元 增长量/元 y/元 增长量/元 y/元 增长量/元 1 40 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 … … … … … … … 30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4 我们来计算三种方案所得回报的增长情况： 从表格中获取信息，体会三种函数的增长差异。 图-1 我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？ 函数图象是分析问题的好帮手。为了便于观察，我们用虚线连接离散的点。 图112-1 从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多； 每5~8天，方案二最多； 第9天以后，方案三最多. 有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？ 下面再看累计的回报数： 结论：投资1～6天,应选择方案一;投资7天，应选择方案一或方案二；投资8 ～ 10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三。 天数 回报/元 方案 一 二 三 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 解决实际问题的步骤： 实际问题 读懂问题 抽象概括 数学问题 演算 推理 数学问题的解 还原说明 实际问题的解 例2:在同一坐标系中y=log2x,y=2x,y=x?这三个函数图象的相对位置关系如何？请画出其大致图象. x y o 1 1 2 4 y=2x y=x2 y=log2x y=log2x 结论.三个函数增长情况比较: 在区间(0, ,+∞)上,尽管函数y=logax(a>1)，y=ax(a>1)与y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上。随着x的增大，y=ax（a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢. 因此总存在一个x0,当x> x0时,就会有 logax
