2021-2022学年高中数学人教A版必修5学案 1.2 Word版含解析 (3份打包)

第3课时　三角形中的几何计算 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握三角形的面积公式的应用．(重点)2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用．(难点) 1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算素养．2.借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象素养． 1．三角形的面积公式 (1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)； (2)S＝ab sin C＝bc sin A＝ca sin B； (3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径). 思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？ (2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？ [提示]　(1)适用．三角形的面积公式对任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解． 2．三角形中常用的结论 (1)A＋B＝π－C，＝－； (2)在三角形中大边对大角，反之亦然； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (4)三角形中的诱导公式 sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C， tan (A＋B)＝－tan C， sin ＝cos ，cos ＝sin ． 1．下列说法中正确的是 (填序号). ①已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r； ②在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝，则A＝60°； ③在△ABC中，若a＝6，b＝4，C＝30°，则S△ABC的面积是6； ④在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B. ③　[①中三角形的面积S＝(a＋b＋c)r. ②由S＝bc sin A可得sin A＝， ∴A＝60°或120°. ④在△ABC中由sin 2A＝sin 2B得A＝B或A＋B＝.] 2．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积为 ． 9　[由题知A＝180°－120°－30°＝30°，由＝知b＝6，∴S＝ab sin C＝18×＝9.] 3．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC的外接圆半径为，则边c的长为 ． 3　[由题知S△ABC＝ab sin C＝15得sin C＝. 又由＝2R得c＝2×＝3.] 三角形面积的计算 【例1】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cos A＝，b＝. (1)求sin C的值； (2)求△ABC的面积． [解]　(1)∵角A，B，C为△ABC的内角，且B＝， cos A＝，∴C＝－A，sin A＝. ∴sin C＝sin ＝cos A＋sin A＝. (2)由(1)知sin A＝，sin C＝. 又∵B＝，b＝，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝＝. ∴△ABC的面积S＝ab sin C＝×××＝. 1．由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用． 2．如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算． 1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为(　　) A．6　　　　 B．3 C．2 D．2或3 D　[因为S△ABC＝bc sin A＝2， 所以bc＝6，又因为sin A＝， 所以cos A＝，又a＝3， 由余弦定理得9＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.] 三角恒等式证明问题 【例2】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 证明：＝. 思路探究：由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开． [证明]　法一：(边化角)由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴a2－b2＝b2－a2－2bc cos A＋2ac cos B， 整理得：＝. 依正弦定理有＝，＝， ∴＝＝. 法二：(角化边)＝ ＝＝＝. 1．三角恒等式证明的三个基本原则 (1)统一边角关系． (2)由繁推简． (3)目标明确，等价转化． 2．三角恒等式证明的基本途径 (1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形． (2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形． 2．在△ABC中，求证：＝. [证明]　由正弦定理得 右边＝ ＝ ＝ ＝＝＝左边． ∴原等式成立． 解三角形中的综合问题 [探 ... ...