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课件网) 第1课时 二维形式的柯西不等式 1．定理1：(二维形式的柯西不等式)设a，b，c，d均为实数，则： (a2＋b2)(c2＋d2)≥_____， 其中等号当且仅当_____时成立． (ac＋bd)2 ad＝bc ad＝bc ad＝bc |ad|＝|bc| |α|·|β| β是零向量 存在实数k，使α＝kβ 【例1】 证明：(x2＋y4)(a4＋b2)≥(a2x＋by2)2. 【解题探究】 虽然可以作乘法展开上式的两边，然后再进行比较，但是如果注意到这个不等式的形式与柯西不等式的一致性，就可简化计算． 【解析】根据柯西不等式，有(x2＋y4)(a4＋b2)≥(x·a2＋y2·b)2＝(a2x＋by2)2.(当且仅当xb＝y2a2时取等号) 利用柯西不等式证明不等式 联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算．所以，经典不等式是数学研究的有力工具． 利用柯西不等式求最值 (1)本例应用了柯西不等式的变形形式，困难在于弄清对应于柯西不等式中a，b，c，d的是哪4个数． (2)解此类问题时，应先求出函数的定义域． 构造柯西不等式求最值 3．已知|x－2y|＝5，证明：x2＋y2≥5. 【证明】由柯西不等式有(x2＋y2)[12＋(－2)2]≥(x－2y)2， 即5(x2＋y2)≥|x－2y|2. ∵|x－2y|＝5，∴5(x2＋y2)≥25，即x2＋y2≥5. 1．柯西不等式主要用于证明不等式和求最值，常用到推论1和推论2，要注意公式应用的前提条件和等号成立的条件． 2．在柯西不等式的应用过程中，常常需要对式子的结构进行适当的拼凑或变形，构造与柯西不等式一致的形式，弄清问题中的哪些数对应于柯西不等式中的a，b，c，d很重要． 3．有些问题既可用柯西不等式，也可用基本不等式来解决，需要分清两种不等式的结构特点．(
课件网) 第2课时 一般形式的柯西不等式 (a1b1＋a2b2＋a3b3)2 bi＝0(i＝1,2,3) 存在一个数k，使得ai＝kbi (i＝1,2,3) (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 bi＝0(i＝1,2，…，n) 存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2， …，n) 3．已知x，y，z∈R且x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2的最小值是_____． 【例1】 已知x，y，z∈R且2x＋3y＋6z＝12，求x2＋y2＋z2的最小值． 【解题探究】 利用三维柯西不等式可解． 三维柯西不等式求最值 本题由2x＋3y＋6z＝12以及x2＋y2＋z2的形式，通过构造(22＋32＋62)作为一个因式，从而利用三维柯西不等式使问题得到解决． 1．若2x＋3y＋z＝7，求x2＋y2＋z2的最小值． 三维柯西不等式证明不等式 与二维柯西不等式的应用一样，巧用条件x＋y＋z＝1，构造与三维柯西不等式一致的形式解决问题． 一般形式的柯西不等式 应用柯西不等式解题时，首先应进行必要的变形或构造相应的式子，使条件符合柯西不等式的形式，然后解得． 1．对一般形式的柯西不等式的理解： 对于一般形式的柯西不等式，应该类比二维柯西不等式，通过几何意义来理解． 2．不等式的应用： 一般形式的柯西不等式有着广泛的应用，尤其是证明不等式和求最值方面．在应用过程中，常常需要进行适当的变形、拼凑，得到与不等式一致的形式．(
课件网) 第3课时 排序不等式 定理：(排序不等式，又称排序原理) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥_____≥_____，当且仅当_____或_____时，反序和等于顺序和． a1c1＋a2c2＋…＋ancn a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1 a1＝a2＝…＝an b1＝b2＝…＝bn 【解析】(1)由二维柯西不等式，得①成立； (2)由排序不等式，得②成立； (3)由三维柯西不等式，得③成立； (4)缺条件a，b大于0，不成立． 【例1】 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5 ... ...
