专题二 选填题题型归纳之导数 题型一、导数的几何意义———切线问题 考点1.在点问题与过点问题 1．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ） A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x 【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x）， ﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax． 所以：（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2 可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1， 曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1， 则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x． 故选：D． 2．已知曲线C：f（x）＝x3﹣ax+a，若过曲线C外一点A（1，0）引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（ ） A． B．﹣2 C．2 D． 【解答】解：由f（x）＝x3﹣ax+a，得f′（x）＝3x2﹣a， 设切点为， ∴， ∴过切点的切线方程为， ∵切线过点A（1，0）， ∴， 解得：x0＝0或． ∴f′（0）＝﹣a，， 由两切线倾斜角互补，得 ﹣a， ∴a． 故选：A． 考点2.公切线问题 3．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝ 1﹣ln2 ． 【解答】解：设y＝kx+b与y＝lnx+2和y＝ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）； 由导数的几何意义可得k，得x1＝x2+1 再由切点也在各自的曲线上，可得 联立上述式子解得； 从而kx1+b＝lnx1+2得出b＝1﹣ln2． 4．设函数与g（x）＝a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为 ． 【解答】解：设公共点坐标为（x0，y0），则， 所以有f'（x0）＝g'（x0），即，解出x0＝a（舍去）， 又y0＝f（x0）＝g（x0），所以有， 故， 所以有，对b求导有b'＝﹣2a（1+lna）， 故b关于a的函数在为增函数，在为减函数， 所以当时b有最大值． 故答案为：． 考点3.切线综合问题 5．设点P在曲线yex上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|的最小值为（ ） A．1﹣ln 2 B．（1﹣ln 2） C．1+ln 2 D．（1+ln 2） 【解答】解：由题意知函数yex与y＝ln（2x）互为反函数， 其图象关于直线y＝x对称， 两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与yex上点的最小距离的2倍． 设yex上点（x0，y0）处的切线与直线y＝x平行， 则ex0＝1， ∴x0＝ln 2，y0＝1， ∴点（x0，y0）到y＝x的距离为（1﹣ln 2）， 则|PQ|的最小值为（1﹣ln 2）×2（1﹣ln 2）． 故选：B． 6．设曲线y＝（ax﹣1）ex在点A（x0，y0）处的切线为l1，曲线y＝（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y1）处的切线为l2，若存在x0∈[0，]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，1] B．（，+∞） C．（1，） D．[1，] 【解答】解：函数y＝（ax﹣1）ex的导数为y′＝（ax+a﹣1）ex， ∴l1的斜率为k1＝（ax0+a﹣1）， 函数y＝（1﹣x）e﹣x的导数为y′＝（x﹣2）e﹣x ∴l2的斜率为k2＝（x0﹣2）， 由题设有k1?k2＝﹣1从而有（ax0+a﹣1）?（x0﹣2）1， ∴a（x02﹣x0﹣2）＝x0﹣3， ∵x0∈[0，]，得到x02﹣x0﹣2≠0，所以a， 又a′，令导数大于0得，1＜x0＜5， 故a在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数， x0＝0时取得最大值为；x0＝1时取得最小值为1． ∴1≤a． 故选：D． 题型二、单调性问题 考点1.已知单调性求参 1．已知函数f（x）mx2﹣2x+lnx在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是（ ） A．[﹣1，1] B．[﹣1，+∞） C．[1，+∞） D．（﹣∞，1] 【解答】解：∵函数f（x）mx2+lnx﹣2x在定义域（x＞0）内是增函数， ∴f′（x）＝mx2≥0，化为m． 令g（x）， g′（x），解g′（x）＞0，得0＜x＜1；解g′（x）＜0，得x＞1． 因此当x＝1时，g（x）取得最大值，g（1）＝1． ∴m≥1． 故实 ... ...
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