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课件网) 抛物线的几何性质 学习目标 1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、开口方向; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及弦长问题; . F M . 1、抛物线的定义： 我们把平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线. 抛物线 的 焦点坐标是： 准线方程为： 图 形 方 程 焦 点 准 线 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py （p>0） P(x,y) 一、抛物线的几何性质 抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 1、范围 由抛物线y2 =2px（p>0） 而 所以抛物线的范围为 关于x轴 对称 由于点 也满 足 ，故抛物线 (p>0)关于x轴对称. y2 = 2px y2 = 2px 2、对称性 P(x,y) 定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线 的顶点。 P(x,y) 由y2 = 2px （p>0）当y=0时,x=0, 因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。 注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。 ３、顶点 4、开口方向 P(x,y) 抛物线y2 =2px（p>0）的开口方向向右。 +X，x轴正半轴，向右 -X，x轴负半轴，向左 +y，y轴正半轴，向上 -y，y轴负半轴，向下 5、离心率 P(x,y) 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。 （二）归纳：抛物线的几何性质 图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py （p>0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y ≤ 0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 特点： 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有 对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、 一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考：抛物线标准方程中的p 对抛物线开口的影响. P(x,y) 例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２， ），求它的标准方程。 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２， ）， 解： 所以设方程为： 又因为点M在抛物线上： 所以： 因此所求抛物线标准方程为： （三）、例题讲解： 题型一 求抛物线的方程 变式训练1 顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2, )的抛物线的方程有几条？并求出它们的标准方程。 顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2, )的抛物线的方程有几条？并求出它们的标准方程。 顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2, )的抛物线的方程有几条？并求出它们的标准方程。 顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2, )的抛物线的方程有几条？并求出它们的标准方程。 变式训练2: 已知抛物线y2=4x截直线y=x+b所得弦长为4,求b的值. 当堂检测： 1、求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点F为（0，5）. （2）顶点在原点，准线是x=4. (3) 顶点在原点，关于x轴对称,并且 经过点M(5,-4). (4) 焦点F为(0,-8),准线是y=8. y2=-16x x2=-32y 2、过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为 ; 已知抛物线y2=2x，过点Ｑ(2,1) 作斜率为1直线交抛物线于A、B两点， 试求弦AB的中点M。 3、 依照上题的思路：xA+xB=4 所以xM=2 将xM=2代入 y=x-1得yM＝１ 所以Ｍ为（２，１） （三）：课堂小结 1：知识小结 2：方法小结 3：布置作业： 书面作业：课本第64页第1,2,3，4题； 08.12.1 ... ...
