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课件网) 3.1.1方程的根与函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使_____的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的_____． 2．函数零点与方程根的关系 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的_____，也就是函数y＝f(x)的图象与_____的交点的_____，所以方程f(x)＝0有_____?函数y＝f(x)的图象与_____?函数y＝f(x)_____． 自学导引 f(x)＝0 零点 实根 x轴 横坐标 实根 x轴有交点 有零点 3．函数零点的判断 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)_____，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)使f(x0)＝0，这个x0 也就是方程f(x)＝0的根． <0 1．函数的“零点”是一个“点”吗？ 【答案】函数的零点并不是指一个点，而是满足f(x)＝0的实数x的值． 自主探究 【答案】不对，因为f(x)的图象在(－1,1)内不连续，是间断的，不符合零点存在定理的条件． 1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 预习测评 2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( ) A．a<1 B．a>1 C．a≤1 D．a≥1 【答案】B 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数零点的个数是_____． 【答案】2 4．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是_____． 【答案】－3 1．函数零点的概念 对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注意以下两点： (1)方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． 要点阐释 (2)函数零点的求法： 代数法：求方程f(x)＝0的实数根； 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 2．函数零点的判断 一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理． 思路点拨：根据函数零点的定义，求出方程的根即可． 典例剖析 1．求下列函数的零点： (1)f(x)＝2x－1； (2)f(x)＝lg(x2－1)＋8； (3)f(x)＝x2－3x＋2; (4)f(x)＝ex－1－4. (3)由x2－3x＋2＝0，得x1＝1，x2＝2，故函数的零点为2,1. (4)由ex－1－4＝0，得x＝1＋ln 4，故函数的零点为1＋ln 4. 思路点拨：利用代入法求解． 答案：B 【答案】 D 题型三 函数零点的应用 【例3】 已知在函数f(x)＝mx2－3x＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围． 思路点拨：利用函数零点的存在性定理，结合函数的单调性进行判定或利用数形结合的方法进行判定． (1) 方法点评：本题重点考查函数零点的分布问题，解答本题的关键是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义．用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点．设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制，要注意：(1)判别式；(2)对称轴；(3)所给区间端点的函数值；(4)开口方向． 3．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点． 解：由题意知，函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3， 知方程x2－ax－b＝0的两个实根是2和3. 故有a＝2＋3＝5，－b＝2×3，即b＝－6， 因此g(x)＝－6x2－5x－1. 【例4】 若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，求实数a的取值范围． 错解：由题意可得， 实数a所满足的条件为Δ＝4－4a＝0，∴a＝1. 错因分析：没有对系数a进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数． 误区解密 因忽略对二次项系数的讨论而出错 ... ...
