§3 抛物线 3．1 抛物线及其标准方程 学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程． 导语 同学们，数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生活之谜，日月之繁，无处不用数学”，比如足球射门时那条美丽的弧线，天空中那一道道美丽的彩虹，广场上那五彩斑斓的喷泉，运动场上那些跳跃运动，哪怕是一个小朋友轻轻投掷一块石子，都会产生一道与众不同的弧线，所以我们说生活中充满了数学，数学就在我们周围． 一、抛物线的定义 问题1 如图，先将一把直尺固定在画板上，再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线l)，然后取一根细绳，它的长度与另一条直角边AB相等，细绳的一端固定在三角板顶点A处，另一端固定在画板上的点F处． 用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线，即点P的轨迹．你能发现点P满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 提示 点P运动的过程中，始终有|PF|＝|PB|，即点P与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点P的轨迹形状与二次函数的图象相似． 知识梳理 1．定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线． 2．这个定点F叫作抛物线的焦点． 3．这条定直线l叫作抛物线的准线． 注意点： (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 例1 在平面内，到直线x＝－2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是( ) A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 答案 A 解析 动点M到定点P(2,0)的距离与到定直线l： x＝－2的距离相等， 所以M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线． 反思感悟 理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上． 跟踪训练1 在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若点P的轨迹为抛物线，则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离， 但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上， 则点P的轨迹就不是抛物线，故应为必要不充分条件． 二、求抛物线的标准方程 问题2 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 提示 我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系．设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x＝－. 设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}． 则M到F的距离为|MF|＝，M到直线l的距离为， 所以＝， 将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)． 知识梳理 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 注意点： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的系数及其符号． 例2 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为y＝； (2)经过点(－3，－1)； (3)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． 解 (1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，故所求抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)因为点(－3，－1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方 ... ...
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