【课标要求】 了解等差数列前n项和公式的函数特征，掌握等差数列 前n项和的性质，灵活运用等差数列前n项和公式及有 关性质解题． 等差数列 (四) 答案 充要 答案 等差 自学导引 1． 2． 答案 (2n－1) 3． 提示 Sm＋p＝0. 自主探究 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ( )． A．2 B．24 C．3 D．25 解析 a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30 ① a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15 ② ①－②得：5d＝15.∴d＝3.选C. 答案 C 预习测评 1． 答案 10 2． 解析 因为数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8为等差数列，所以a7＋a8＝4. 答案 4 3． 现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩下的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )． A．9 B．10 C．19 D．29 答案 B 4． 等差数列前n项和公式 (1)性质1：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)，an＝pn＋q(p、q为常数)． (2)性质2：①在等差数列中，间隔相等，连续等长的片段和序列仍成等差数列． 如：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，…，公差为4d. a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…，公差为3d. a1＋a3＋a5，a2＋a4＋a6，a3＋a5＋a7，…公差为3d. 名师点睛 1． ②等差数列依次k项之和仍是等差数列． 即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…成等差数列，且公差为k2d. 等差数列的前n项和的最值的求法 (1)符号转折点法 2． 题型一 等差数列前n项和公式性质的应用 【例1】 典例剖析 方法点评 本题解法较多，解答一是此类题目的基本解法，但显得较烦琐，解答二、三、四主要运用了等差数列及其前n项和的性质，由此可见，灵活运用性质能给解题带来很大方便． 解析 法一 依据题设和前n项和公式有 1． ① ② 法二 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． ∴30，70，S3m－100成等差数列， ∴2×70＝30＋S3m－100. ∴S3m＝210. 答案 210 (1)从第几项开始有an＜0； (2)求此数列前n项和的最大值． 解 (1)∵a1＝50，d＝－0.6， ∴an＝50－0.6(n－1)＝－0.6n＋50.6＜0. 由于n∈N*，故当n≥85时，an＜0，即从第85项起以后各项均小于0. (2)法一 ∵d＝－0.6＜0，a1＝50＞0， 由(1)知a84＞0，a85＜0， 题型二 等差数列前n项和的最值问题 【例2】 ∴S1＜S2＜S3<…＜S84＞S85＞S86>… 方法点评 等差数列中，d＞0，数列递增；d＜0，数列递减，因而若有连续两项ak，ak＋1异号，则Sk必为Sn的最大值或最小值． 令an≥0，得n≤7.5，即数列的前7项为正数，从第8项起，以后各项为负数，∴当n＝7时，Sn最大，且S7＝49. 2． 误区警示 分析问题不严密致误 【例3】 ∴当n＝12时，Sn有最大值S12＝130. 错因分析 解中仅解不等式an＞0是不正确的，事实上应解an≥0，an＋1≤0. ∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0， ∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13＝0，∴a13＝0. ∵公差d＜0，a1＞0， ∴a1，a2，…，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数． ∴当n＝12或13时，Sn有最大值为S12＝S13＝130. 利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差的关系，直接应用于解题中，使较为复杂的问题得以简化． 课堂总结 1． 3． 2． ... ...
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