1.3.2函数的极值与导数 课件（共19张ppt）-2021-2022学年高二数学人教A版选修2-2第一章

(课件网) 观察图象中，点a和点b处的函数值与它们附近点的函数值有什么的大小关系？ 一 极值的定义 点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称为函数y=f(x)的极小值， 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称为函数y=f(x)的极大值 。 极大值点极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。 观察函数y=f(x)的图像 探究 1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？ 2、极大值一定比极小值大么？ C 函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。 结论:极值点处导数值为0 C 探究3：函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点两侧的导数符号有什么规律？ 演示 探究:极值点两侧导数符号有何规律? f ?(x)<0 y x O x1 a b y=f(x) 极大值点两侧 极小值点两侧 f ?(x)<0 f ?(x)>0 f ?(x)>0 x2 f ?(x)<0 y x O x1 a b y=f(x) 极大值点两侧 极小值点两侧 f ?(x)<0 f ?(x)>0 f ?(x)>0 探究:极值点两侧导数正负符号有何规律? x2 x Xx2 f?(x) f(x) x Xx1 f?(x) f(x) 增 f?(x) >0 f?(x) =0 f?(x) <0 极大值 减 f?(x) <0 f?(x) =0 增 减 极小值 f?(x) >0 注意:(1) f?(x0) =0， x0不一定是极值点 (2)只有f?(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f?(x0) =0的点，再列表判断单调性 结论：极值点处，f?(x) =0 练习： 下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 探究4:导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 思考 (1)导数为0的点一定是 函数的极值点吗？ 例如：f(x)=x3 f ’(x)=3x2≥0 f ’(0)=3×02=0 x x<0 X=0 X>0 f ’(x) + 0 + f(x) o x y Y=x3 + + 若f(x0) 是极值，则f ’(x0)=0。 反之， f ’(x0)=0，f(x0)不一定是极值 y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x)在这点取得极值的 必要条件。 因为 所以 例1 求函数 的极值. 解: 令 解得 或 当 , 即 , 或 ; 当 , 即 . 当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表: x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞) 0 0 f (x) – + + 单调递增 单调递减 单调递增 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 . 例题4图像 -2 o x y 2 + - - + 28/3 -4/3 f(x)=1/3 x3-4x+4 (1)确定函数的定义域，求导数 (2)求方程 的根 (3)用方程 的根，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格. (4)检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值。 f ?(x) f ?(x)=0 f ?(x)=0 f ?(x) 求解函数极值的一般步骤 练习2 求下列函数的极值: 解: 令 解得 列表: x 0 f (x) + 单调递增 单调递减 – 所以, 当 时, f (x)有极小值 思考：已知函数 在 处取得极值。 （1）求函数 的解析式 （2）求函数 的单调区间 (3)求函数 f(x) 的最值 直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是_____． 解析：令f′(x)＝3x2－3＝0， 得x＝±1， 可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2， 极小值为f(1)＝－2， 如图所示，－2