2021年全国高中数学联赛新疆赛区初赛试题（PDF版含答案）

2021年全国高中数学联赛新疆赛区初赛试卷 、填空题(每题8分,共64分) 1.若实数集合{36,9x}的最大元素与最小元素之积等于该集合的所有元素之和,则x的值为 2.sin2100°-sin50°sin70°= 3.将正整数中所有数码不超过5的数从小到大排成一列,则第2021个数是 4.设f(x)=nx,若函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,4)上有三个零点,则实数a的取值范围是 5.已知A,B,C为圆O(O为坐标原点)上不同的三点,且∠AOB 2丌 若OC=AO4+OB(A,H∈R), 则当O=√32+2+取最大值时,2= 6.已知数列{an}满足a=1,a2=4,a3=10,对任意的n22有an12-2a2=a,an2-2an1an1,则a1的 个位数字是 7.由数字1,2和3组成的6位数中,若每个数字至少出现一次,则这样的6位数共有 个 8.已知n是正整数,且7″+2n能被57整除,则n的最小值为 、解答题(共56分) 9.如图,AC=BC,△ABC外接圆在A,C的切线交于D点,BD交圆于E,射线AE交CD于F 证明:F是CD的中点 10.在平面直角坐标系xO中,曲线C(x+1)2+y2=16,曲线C2:2+2=1,过M(-10)斜率不为零 3 的直线与C1交于A,B两点,N(1,0),AN,BN的垂直平分线分别为l2,求证: (1)1,l2均与C2相切; (2)l1,l2的交点P在一条定直线上 11.已知△ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,求证: 2b2+c2c2+a2021年全国高中数学联赛新疆赛区初赛试卷参考答案 、填空题(每题8分,共64分) 1.若实数集合{36,9x}的最大元素与最小元素之积等于该集合的所有元素之和,则x的值为 答案: 解析: 若x是最大元素,则3x=18+x,解得x=9,不合题意 若x是最小元素,则9x=18+x,解得、9 若x既不是最大元素也不是最小元素,则27=18+x,解得x=9,不合题意 所以x= 2.sin2100°-sin50°sin70°= 答案: 解析: 方法一:原式=cos210°-sin50sin70=+c0s20+(cosl20-c0s20)= 方法二:原式=c0s210-sin50sim70=1+1c0s20-sin50sin70 22c0s(70-50)-sin50si011 2 2(cos 50 cos 70+sin 50"sin 70 )-sin 50 sin 70 2>(cos 50 cos 70-sin 50 sin 70)=5+-cos120 22 3将正整数中所有数码不超过5的数从小到大排成一列,则第2021个数是 答案:13205 解析: 方法一:所有数码不超过5的一位正整数有5个,两位正整数有5×6=30个,三位正整数有5×62=180个, 四位正整数有5×63=1080个,共有1295个; 万位数为1,千位为0,共216个; 万位数为1,千位为1,共216个; 万位数为1,千位为2,共216个;共1943个, 万位数为1,千位为3,百位是0,1各36个,共72个,一共1943+72=2015个,还差6个,百位是2,个 位取0,1,2,3,4,5,所以第2021个数是13205 方法二:数码不超过5的数可以与一个六进制数建立一一对应关系,2021=1×64+3×63+2×62+0× 6+5.利用除6取余法可得,即(2021)10=(13205),所以答案是:13205 4.设f(x)=nx,若函数g(x)=f(x)-ax在区间(04)上有三个零点,则实数a的取值范围是 答案:/h21 解析: 方法一:因为函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,4)上有三个零点,即x-ax=0在(0,4)上有三个不同的 Inx In ,00时,当x∈(0,1)时,存在一个零点 当x∈(,+x),f(x)=lnx,g(x)=lnx-ax,x∈(1,4],g(x)= ax 当x>-时,g(x)<0,g(x)单调递减;当00,g(x)单调递增 所以,f(x)与y=ax在(1,4)上有两个交点 g(-)>0 由g(4)<0:hn2ln g(1)≤0 所以当(2)=,函数(在区间04上有三个零点 ... ...